domingo, 13 de agosto de 2017

Hipócrates de Cos - Juramento y ciencia médica (Parte I)

Hipócrates de Cos es considerado el padre de la medicina moderna, a partir de que introdujo el arte de la medicina como una profesión. Muy poco se sabe de su vida, pues más se conocen las obras que hizo sobre las enfermedades y otras cuestiones morales que el médico debía hacer en ciertos casos. Sus postulados son recordados por la mayoría de los grandes pensadores y personajes del mundo griego. Sus descripciones sobre las enfermedades han dado lugar a que la ciencia indagara a un más en el origen de aquellas para encontrar alguna cura. Veamos en esta ocasión los tratados morales de Hipócrates de Cos.

Definiciones:

(1) Emoliente: sustancia que ablanda o relaja una dureza o una zona inflamada. 


Referencias:

(1) Véase el apartado de los Presocráticos hecho en este blog. 
(2) Por cierto, esta idea ya se ha estado considerando en estos días. Véase el siguiente link.  
(3) Una idea muy antigua de la cual se decía que los contrarios se curan a través de los contrarios; este método se llama alopatía. 
(4) En realidad, podríamos decir que los humores son justamente lo que hoy se conoce como bilis. 
(5) Una crítica dura contra Empédocles quien, aparte de defender que los males del hombre se producen por lo frío o lo caliente, en sus tratados hablaba sobre la esencia del hombre y su relación con la naturaleza. 
(6) Se debe advertir que esta parte del texto es de difícil traducción del texto original. Probablemente podríamos interpretar el pasaje de maneras muy distintas; queda a criterio del lector.  
(7) Opinión contraria a la de Aristóteles, quien decía que la práctica no era necesaria si se sabía la teoría. 



Hipócrates de Cos


Juramento hipocrático

Puede que el juramento hipocrático sea una de las cosas más significativas por las que fue conocido, veámoslo:

Juro por Apolo médico, por Asclepio, por Higeia y por Panacea, así como por todos los dioses y diosas, poniéndolos por testigos, dar cumplimiento en la medida de mis fuerzas y de acuerdo a mi criterio a este juramento y compromiso:

Tener al que me enseñó este arte en igual estima que
a mis progenitores, compartir con él mi hacienda y tomar
a mi cargo sus necesidades si le hiciere falta; considerar
a sus hijos como hermanos míos y enseñarles este arte,
si es que tuvieran necesidad de aprenderlo, de forma
gratuita y sin contrato; hacerme cargo de la preceptiva,
la instrucción oral y todas las demás enseñanzas de mis
hijos, de los de mi maestro y de los discípulos que hayan
suscrito el compromiso y estén sometidos por juramento
a la ley médica, pero a nadie más.

Haré uso del régimen dietético para ayuda del enfermo,
según mi capacidad y recto entender: del daño y la
injusticia le preservaré.

No daré a nadie, aunque me lo pida, ningún fármaco
letal, ni haré semejante sugerencia. Igualmente tampoco
proporcionaré a mujer alguna un pesario abortivo .
En pureza y santidad mantendré mi vida y mi arte.
No haré uso del bisturí ni aun con los que sufren del
mal de piedra: dejaré esa práctica a los que la realizan .

A cualquier casa que entrare acudiré para asistencia
del enfermo, fuera de todo agravio intencionado o 
corrupción, en especial de prácticas sexuales con las personas,
ya sean hombres o mujeres, esclavos o libres .
Lo que en el tratamiento, o incluso fuera de él, viere
u oyere en relación con la vida de los hombres, aquello
que jamás deba trascender, lo callaré teniéndolo por
secreto.

En consecuencia séame dado, si a este juramento fuere
fiel y no lo quebrantare, el gozar de mi vida y de mi
arte, siempre celebrado entre todos los hombres. Mas
si lo transgredo y cometo perjurio, sea de esto lo contrario.


Vemos que el juramento de Hipócrates no obedece a una doctrina ocultista o individualista, pues llama a que el médico debe tener una conducta totalmente amable con el enfermo, y para con sus colegas a quienes no se les debería guardar ningún secreto en cuanto a la práctica, pues es deber del médico enseñar también a quien no sabe. 

Igualmente hay nociones de que Hipócrates estuvo en contra del aborto, así como también del suicidio al decir ''No daré a nadie ningún fármaco letal''. También considera la práctica de la medicina como algo totalmente objetivo, pues dice que el objetivo del médico es curar al paciente independiente de la historia que tenga. 

Sobre la Ciencia Médica

Este fue un pequeño escrito de Hipócrates en el cual trataba de defender la ciencia médica a causa de las críticas que recibía por parte de algunos aristócratas probablemente. 

Debido a su influencia en tiempos de los filósofos eleáticos como Parménides, Hipócrates postula que cada Ciencia es el estudio de lo que existe, pues nadie puede estudiar las cosas que no existen, lo cual nos podría recordar a la teoría del ser y el no-ser de Parménides(1). 

Concepto y rol de la medicina

De aquí comienza a definir lo que es la medicina:

''Es el apartar por completo los padecimientos de lso que están enfermos y mitigar los rigores de sus enfermedades, y el no tratar a los ya dominados por las enfermedades, conscientes de que en tales casos no tiene poder la medicina''

Sin embargo, Hipócrates también admite que hay muchos hombres que se han curado sin tener la necesidad de recurrir a un médico; Hipócrates no desmiente esto diciendo que lo cree posible. De hecho, acepta que la gente pueda curarse sin la necesidad de un médico, pues esto demuestra que la ciencia médica es más útil si se la conoce y se la aplica correctamente. 

Cuando un hombre decide curarse sólo de sus enfermedades lo hace a través de su experiencia. El decidir estar en cama, hacer ayuno, comer alimentos ligeros o hacer ejercicio, o abstenerse de él, son conductas que el hombre ha aprendido a modo de prueba y error. La medicina es ciencia por esto mismo, pues para Hipócrates la ciencia involucra una dicotomía entre correcto e incorrecto, cada vez que se presenten estas dos significa que hay ciencia.

Lo lamentable que se le criticaba a la ciencia (en tiempos de Hipócrates) era que los que estaban muy enfermos de manera tal que la medicina no podía hacer nada, se les dejaba a un lado, pues no es la medicina la que tiene la culpa, sino más bien la dolencia. 

Dos especies de medicina 

De acuerdo con Hipócrates hay dos tipos de dolencias: internas y externas, siendo ésta última la más fácil de tratar no tanto por la dificultad, sino que por que la dolencia está al descubierto. 

Cuando se trata de enfermedades internas, el médico debe aplicar toda su inteligencia para sanarlas, ya que es la parte más difícil de sanar sobre todo desde afuera. La mayoría de las pistas que puede tener el médico de la medicina interna podrían ser las secreciones, los comportamientos, el tono de color de la piel y otras afecciones que pueden verse de manera externa. 

Sobre la Medicina Antigua

Hipócrates nos dice que dar a entender que las enfermedades se producen por el cambio entre lo frío, lo caliente; lo húmedo, lo seco es un gran error. Quizás esto nos puede recordar a algunos filósofos los cuales siempre hablaban de la relación entre los diferentes estados de la materia. Un buen ejemplo de esto sería Empédocles de Agrigento. 

La medicina como arte

Insiste con la crítica de aquellos que dicen que la medicina no es un arte en sí, pues todos podrían aplicarla de cierta manera. Hipócrates nos dice que la medicina tiene su propia técnica (techné), de la cual las sensaciones no son suficientes para explicarlas. En efecto, la ciencia necesita del conocimiento y pericia intelectual del hombre, más allá de las sensaciones aunque también debiera conocerlas. 

Hipócrates asegura que quioen no sigue los procedimientos formales de la medicina ya se para curar a otros o a sí mismo, se engaña pues este arte de la medicina ya tiene su propia técnica. Veamos algunas razones por las cual Hipócrates cree en lo que acabamos de decir. 


  • El médico hipocrático debe hacerse entender por el profano (o paciente) en cuanto a la causa de la enfermedad y los efectos que esta produce. Si el médico no se diera a entender, entonces todo lo que diga estará fuera de la realidad.
  • Si la medicina no tuviera una técnica, entonces no habría necesidad de prescribir dietas o medicamentos, es decir, quien está enfermo podría por sí mismo cuidarse con sus dietas, lo cual no es cierto, pues el enfermo necesita saber qué dietas llevar a cabo para sentirse mejor. De ahí que la medicina sea una necesidad, pues el enfermo necesita una explicación a sus dolencias; mientras exista un enfermo, debe existir la medicina.
  • Antiguamente, el hombre padeció ciertas enfermedades y dolores, y a medida que iba haciendo experimentos sobre cuál alimento es mejor, de este modo se descubrió la medicina. La medicina procura el bienestar del cuerpo a través de la alimentación del mismo.

Estas experimentaciones del primer punto hicieron que el hombre eligiera más sensatamente qué es lo que come. Si se siente enfermo no comerá alimentos pesados como el pan o cualquier alimento tan sólido como este, pues es demasiado fuerte para el cuerpo. Lo mejor para el enfermo que está haciendo dieta será darle una papilla, aunque Hipócrates advierte que la papilla también puede hacer mal a ciertos hombres. 

La dieta del hombre

Una dieta sin conocimientos de lo que se está comiendo puede ser muy perjudicial, pues un enfermo no puede comer lo mismo que un hombre sano, así como tampoco se puede pensar que un hombre debiera comer lo mismo que un animal. 

Muchos hombres pensaban que como el alimento suave (o liviano para hablar en términos actuales) era saludable y beneficioso, sólo había que comer de este y de este modo nunca se preocuparía de enfermedades y otras cosas. Sin embargo, esto no es tan cierto, pues el hombre necesita alimentos fuertes (pesados) para que su constitución sea firme y fuerte. Así también sería malo la ausencia de alimentación en hombres que practican el ayuno para evitar molestias con los alimentos. 

Debido a la experiencia del hombre con los alimentos, a través del tiempo se han hecho varias dietas que Hipócrates nombra a continuación:

Comer una vez al día: Existen hombres que comen una sola vez al día, ya que cuando comen a prisa o demasiado su estómago no alcanza a digerir los alimentos que lleva dentro. De este modo, el hombre se siente con un malestar estomacal y sucesivamente entiende que su organismo procesa los alimentos más lentamente; por eso comen una vez al día(2)

Los que comen almuerzo matutino: La razón tras el almuerzo matutino es que el dicho hombre necesita ingerir otro alimento, a penas terminó de comer el otro sin ningún descanso.

Hipócrates dice que este fenómeno es causado por el hambre excesiva que tiene el hombre, ya que a la hora de comer teniendo mucha hambre, el organismo no parece asimilar el alimento ingerido. Hipócrates afirma que cualquier hombre que tenga entre 2 o 3 días sin comer tendrá los mismos efectos descritos anteriormente. 

Los postulados filosóficos y los humores 
(Filósofos v.s Hipócrates)

Hipócrates pretende refutar a aquellos filósofos antiguos que decían que las enfermedades se deben a los cambios de estado de la materia.

Si los distintos estados de la materia (caliente, frío, húmedo o seco) son los que producen las enfermedades en los hombres, es preciso que quien quiera curarse tendrá que usar lo caliente contra lo frío y lo húmedo contra lo seco, o viceversa(3)

Ejemplo: Supongamos que tenemos a un hombre débil. Siguiendo la lógica de los filósofos, a este hombre deberíamos darle trigo, carne (cruda) y agua. 

Por supuesto, un hombre débil jamás se hará sano o fuerte por comer estos alimentos, todo lo contrario, dice Hipócrates, dicho hombres padecerán aún mucho más dolor.  

Por lo tanto, Hipócrates asume bajo esta hipótesis que el hombre no se enferma por los distintos estados de la materia, sino que más bien por las distintas características naturales de cada comida; por ejemplo, no es lo mismo comer un pan de trigo que otro de cebada, o uno amasado de otro sin amasar. 

De este modo, contra las indicaciones y postulados filosóficos, Hipócrates dirá que no son los estados de la materia lo que vuelve al hombre enfermo (o lo saca de la enfermedad), sino que es precisamente los humores. 

¿Qué son los humores? los humores son también estados de la materia, pero que pertenecen más a la naturaleza esencial de las cosas(4). Por ejemplo:

Salado
Amargo (la bilis amarilla)
Dulce
Ácido
Astringente
Insípido

Todos estos humores mezclados pasan inadvertidos en el organismo del hombre y no le hacen ningún mal, pero cuando estos son consumidos de manera individual es cuando comienzan los dolores. 

Para Hipócrates, el frío y el calor en los alimentos es lo que menos influye en la salud del hombre. Por cierto, hay algunos casos en que los estados de caliente y frío pueden ayudar a mitigar una enfermedad, como el paño frío aplicado al que tiene fiebre. Hipócrates está de acuerdo en eso, pero al mismo tiempo dice que la causa de la fiebre no es lo caliente, así como la solución definitiva tampoco sería simplemente aplicar frío. 

Crítica a los filósofos

Hipócrates critíca a los filósofos antiguos diciendo que estos eran más literarios que médicos en sí. Los filósofos antiguos decían que para poder curar al hombre primero se debía pensar qué era el hombre, y de ahí partir con la medicina. 

Por supuesto, Hipócrates no considera esto necesario, pues la medicina relaciona al hombre con la comida y el bienestar que les producen estas(5)

SOBRE EL MÉDICO

Características del médico

Lo primero que debiera tener el médico es una buena apariencia, debe representar robustez. ¿Por qué? porque la mayoría de la gente piensa que un experto en las partes del cuerpo y sus complejidades, debe ser consecuente con su propia apariencia. La apariencia del médico debe ser agradable para los pacientes por una cuestión de comodidad y respeto. 

Debe ser respetuoso y amable con todas las personas, así como también una excelente reputación. Incluso, Hipócrates dice que el médico debe tener aires de superioridad, pues esto también es apreciado por las personas, aparte de inspirar mucho más respeto(5).

A pesar de tener aires de superioridad, también debe mostrarse amable y agradable aparte de impartir justicia entre sus pacientes(6)

Características del lugar del médico

El lugar perfecto para que el médico pueda curar será un lugar que no tenga viento y donde tampoco moleste la luz del sol al extremo de dañar o molestar la labor. 

La luz también puede molestar a los ojos, además de dañarlos severamente. El médico debe evitar la luz resplandeciente, aunque sienta que no produzca ningún daño, ya que la luz de manera pasiva fatiga la vista del hombre. 

Sólo los instrumentos pueden ser de bronce, manejables y apropiados en peso y ligereza. 

Trato a los pacientes

A los enfermos se les debe dar agua potable y limpia, y para enjuagarse hay que utilizar tejidos limpios y blandos, mientras que deben usarse los paños para los ojos y esponjas para las heridas. 

Cuando se pone un vendaje hay que tener conocimientos sobre cómo apretar  o soltar dicho vendaje. De hecho, el médico también debe considerar la estación del año cuando recomienda utilizar un vendaje, aparte de saber también como apretarlo en la medida justa. 

No se utilice un vendaje con adornos, ya que estos son justamente los que dañan terriblemente al paciente: el paciente no busca adornos, sino que lo conveniente. 

Las operaciones también tienen su propia técnica, pues dependiendo de cómo sean se debe aplicar una operación rápida o lenta.

Cuando la operación requiere sólo un corte, entonces la intervención debe ser rápida. Cuando la operación requiere muchos cortes, entonces ésta debe ser lenta. 

Instrumentos 

Cuchillas: se deben usar cuchillas puntiagudas o anchas según el caso. Por ejemplo, las puntiagudas se usan para las varices, así como otros vasos sanguíneos ¿por qué? porque no es fácil contener el flujo de sangre una vez que se hace una incisión. 

Las cuchillas anchas se usarán para las venas donde la sangre no corra de manera tan ligera. 

Ventosa: si está por encima de la superficie de la carne, entonces el círculo de la ventosa debe ser estrecho. Esto se debe hacer así para que los humores distanciados queden bien absorbidos en la carne.

Ahora, si la dolencia es mayor, entonces la ventosa debe ser más grande, ya que abarcaría una zona más grande para mitigar el dolor. 

Las heridas

Estas tienen 4 direcciones fundamentalmente:

Hacia el interior: son aquellas que tienen forma de fístulas y que están recubiertas por una cicatriz. 

Hacia arriba: son aquellas excrecencias anormales que se forman en el cuerpo (por ejemplo, un tumor). 

En anchura: son aquellas heridas que se llaman herpéticas (heridas que se propagan sobre la piel, el herpes es un ejemplo de ellas). 

Cicatrización: que es el cierre de toda herida, y además, en opinión de Hipócrates, parece ser la única natural. 

De las 4 nombradas anteriormente, la cicatrización es el factor común entre todas ellas. 


SOBRE LA DECENCIA

La sabiduría, comienza diciendo Hipócrates, es una de las virtudes que debiera estar por encima de toda aspiración del hombre. Para Hipócrates, existen unas profesiones donde la sabiduría radica en la practicidad que estas tengan, y otras realmente son inútiles en comparación a estas profesiones con sabiduría. 

Una cosa es la sabiduría y otra también es la apariencia que debe tener el médico para causar seguridad y buena impresión en un paciente. 

Toda teoría debe unir unida a una práctica, pues una teoría que no es aplicada en la realidad ya no puede transformarse en ciencia, además de ser sólo una opinión. De aquí podemos ver que Hipócrates considera una opinión aquello que se piensa pero que no se realiza en la práctica(7)

Es la figura del médico quien contiene todos los ámbitos prácticos y teóricos, pues la medicina se encuentra en todos los aspectos de la vida. Por esta misma razón el médico debe luchar contra la arrogancia que se podría producir por todos los conocimientos que tiene. 

Consejos prácticos para el médico

Estas son algunas cosas que Hipócrates recomienda al futuro médico:


  • El médico siempre debe tener dos botiquines: uno para su casa y otro para las salidas de emergencia.
  • Debe tener aprendidos todos los medicamentos y sus propiedades simples y compuestas (cosa que Hipócrates considera principio, medio y fin en la medicina).
  • Debe tener preparado un emolientes(1) y purgativos.
  • El médico debe tener todo preparado antes de ver al paciente, e indicarle de antemano lo que va a suceder `pues esto le da seguridad al paciente y prestigio al médico. 
  • Se debe tener en cuenta la postura del médico, la forma de sentarse, el atuendo, actitud serena, atención constante, dedicación al paciente y presencia de autoridad. 
  • Se debe tener cuidado con el ambiente o el lugar en donde se encuentre el enfermo. Se debe tener especial cuidado de elegir lugares ventilados o cerrados; así como también aquellos que tengan ciertos olores.


Estos han sido los textos referentes a la labor médica y la medicina en sí.


Conclusión

Como podemos ver, este fue un gran compendio que Hipócrates reunió para conocimiento de los futuros médicos. Seamos tolerantes ante los conceptos y consejos de Hipócrates, pues debemos tener en cuenta que estos son los primeros tratados de medicina de la humanidad. Lo mismo pasaba con Aristóteles cuando hablaba sobre la historia de los animales, que era una exhaustiva descripción de todos los animales de los cuales pudo tomar registro. Si bien las cosas que dice Hipócrates nos pueden parecer obvias y bastante claras, debemos decir que en su tiempo fueron muy importantes para los enfermos de la época, quienes no tenían idea alguna de cómo se sentían o de por qué les afectaba cual y tal enfermedad. 

sábado, 12 de agosto de 2017

Euclides - Los Elementos (Libro II: Cuadrados y rectángulos)

Habíamos visto en el libro precedente, las 48 proposiciones que se basan en los 5 postulados clásicos de Euclides. Esta vez veremos algo similar, pero con respecto a las áreas de los cuadrados y rectángulos. Otra diferencia que podremos ver en este libro es que las proposiciones se reducen a sólo 18 de ellas, por lo que este libro será aún más corto que el anterior. Las proposiciones de Euclides tendrán una gran influencia y contribución en las demás ciencias como la física, astronomía, matemáticas y otras.

Otros libros de Euclides:

Libro I: Triángulos
Libro III: Circunferencias

LOS ELEMENTOS

LIBRO II: CUADRADOS Y RECTÁNGULOS

Conceptos básicos



Gnomon: El gnomon es el resultado de remover la esquina de un paralelogramo más grande, siendo el más grande el gnomon. En este caso, el gnomon se encontraría de la siguiente forma.

Proposiciones

Proposición 1:

Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos

Tengamos dos rectas: una recta A y una recta BΓ y córtese esta última en un punto Δ y E. 



Luego prolonguemos B hasta el punto Z para que se forme un ángulo recto con BΓ. Luego indiquese un punto H entre la recta BΓ que sería igual a la recta A, es decir BH es igual a A.

De la misma forma, a partir de H extiendase la recta hasta el punto Θ hasta Γ. Por los puntos  Δ, Γ y E tracese una recta que los una en la recta HΘ. Finalmente, unase Δ con una recta K, E con una recta Λ. 




Ahora téngase en cuenta que BΘ es igual a los rectángulos BK, ΔΛ y EΘ que en realidad, son la suma del rectángulo BΘ. De la misma forma, BH, ΔK, EΛ y ΓΔ son iguales a BH que a su vez es igual a A. 

También podemos ver que BΓ es la suma de los rectángulos BΔ, BE y EΓ, y a su vez estos mismos están contenidos en la recta A porque BΓ es igual a BH

Finalmente, Así se llevaría la distribución de rectángulos en la recta A:

BK estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería BΔ.
ΔΛ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería ΔE.
EΘ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería EΓ.

Así, los rectángulos comprendidos por la recta no cortada, serán iguales a los rectángulos comprendidos por la recta que sí se cortó. 

Proposición 2:

Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos es igual al cuadrado de la recta entera. 

Tengamos una recta AB que se corte por un punto Γ. 



Dice Euclides que AB está comprendido por los rectángulos BΓ, BA y AΓ. 

Luego, a partir de AB hágase el cuadrado AΔEB y luego tracese por Γ la recta ΓZ. 



Euclides dice que los rectángulos AZ y ΓE comprenden la totalidad de AB. 

AE es igual a AZ y ΓE, ya que el rectángulo AE está comprendido por las rectas AΔ y AΓ, pero como AΔEB es un cuadrado, AD y AB serán iguales.

Del mismo modo, AΔ es igual a AB al igual que ΓE, ya que los dos están comprendidos en AB. Si AΔ es igual a AB, de la misma forma BE es igual a AΔ,y así tenemos que AΔ y BE son iguales a AB.

Como conclusión, se demuestra que al trazar una recta (AB) sobre un punto cualquiera (Γ), el rectángulo comprendido por cada uno de los segmentos (AΓ y ΓB) es igual al cuadrado de la recta entera AB (AΔEB).

Proposición 3:

Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho

Nuevamente cortemos una recta AB en un punto Γ. 



Ahora, a partir de la recta ΓB formamos el triángulo ΓΔEB.



Luego debemos prolongar EΔ hasta Z para formar un rectángulo completo AZEB.




De aquí podemos decir que AE es igual a AΔ junto con el cuadrado BΓ.

Bajo este respecto, recordemos que AE es el rectángulo comprendido por AΓ y por BΓ.

También deberemos decir que ΔΓ es igual a BΓ ya que es parte del cuadrado ΓΔEB. 

Así, si se corta al azar una línea recta (AB)en un punto cualquiera (Γ) el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido (AZΔΓ) por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho. 

Proposición 4:

Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos

Otra vez tenemos la misma recta AB cortada por un punto Γ, pero esta vez lo haremos en otra parte.



A partir de esta recta debemos construir el cuadrado AΔEB, mientras que del punto Γ prolongar un punto Z para conformar la recta ΓZ.




Luego entre ΓZ poner un punto H para formar las rectas paralelas ΘK que serán paralelas a AB y a ΔE. Después de esto debemos trazar una recta en diagonal uniendo BΔ. 




También deberíamos decir que ΓZ es paralela a AΔ y BE, y BΔ ha incidido sobre ellas.  

Al suceder esto, tenemo que el ángulo ΓHB es igual al ángulo interno y opuesto AΔB. Ahora, el ángulo AΔB es igual al ángulo ABΔ porque BA es igual al lado AΔ. 

Del mismo modo, ΓHB es igual al ángulo HBΓ, porque BΓ es igual al lado ΓH. Por otro lado, también tenemos que ΓB es igual a HK y ΓH a KB; lo que da como resultado que ΓHKB sea un cuadrado equilátero. 

¿ΓHKB es un rectángulo o un cuadrado?

Euclides dice que ΓHKB también es rectangular debido a que ΓH es paralela a BK. Así, los ángulos KBΓ y HΓB son iguales a dos rectos, pero también se ha dicho que son equilateros ¿cuál de las dos figuras será? ΓHKB será mucho más cuadrado que rectángulo porque cumple con las dos condiciones de ser un cuadrado:

Cuadrado: figura equilátera con cuatro ángulos rectos
Rectángulo: figura con cuatro ángulos rectos. 

Si bien ΓHKB tiene ángulos rectos (por lo que cumpliría ser un rectángulo) sus lados equiláteros hacen que cumpla con las propiedades de un cuadrado. 

De la misma forma, ΘZ también sería un cuadrado y es el cuadrado de ΘH.

Por lo tanto, si se corta al azar una línea recta (AB), el cuadrado de la recta entera (ADEB) es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos. 

Proposición 5:

Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad

Tengamos una recta AB con segmentos iguales en el punto Γ y un segmento desigual en el punto Δ. 



Luego construir a partir de ΓB un cuadrado ΓEZB y trazar EB por el punto Δ. Después por el punto Δ una recta ΔH que incida en la recta EB y forme el punto Θ. 



Posteriormente trazar una línea KM que sea paralela tanto a AB como a EZ. Este a su vez formará el punto Λ que coincidirá con Γ y formará la recta ΓΛ. 



Teniendo este cuadro, podremos decir que ΓΘ es igual a ΘZ (proposición 43 del primer libro), de la misma forma que ΓM es igual a AΛ, porque AΓ es igual a ΓB.

También podremos decir que AΛ es igual a ΔZ porque ésta última es igual a ΓM. Luego, a estos dos rectángulos se debe añadir ΓΘ para formar el rectángulo AΘ. 

Bajo este respecto, podemos decir que si a AΛ le añadimos ΓΘ, entonces esta sería igual que el rectángulo ΔZ y ΓΘ unidos. De hecho, esta combinación formaría lo que se conoce como el gnomon. 

El gnomon es el resultado de remover la esquina de un paralelogramo más grande, siendo el más grande el gnomon. En este caso, el gnomon se encontraría de la siguiente forma.



A partir de esto se formarían los puntos MNΞ que representarían el gnomon en el rectángulo. 




Por lo tanto, si se corta una línea recta (AB) en segmentos iguales (AΓ y ΓB) y desiguales (AΔ y ΔB), juntos con el cuadrado de a recta que está entre los puntos de sección (ΓΔ) es igual al cuadrado de la mitad de la recta. 


Proposición 6:

Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida

Tengamos una recta AB con un punto intermedio Γ, y prolongar B hasta un punto Δ. 



A partir de ΓΔ construyase el cuadrado ΓEZΔ y tracese ΔE mientras que por el punto B debe formarse la recta BH.



Luego, por el punto BH donde incide ΔE debe colocarse el punto Θ, y en este trazar la recta KM junto para que sea paralelas con AB y EZ. De este modo también se formará el punto Λ y unir A con K.


De esta forma, AΛ es igual a ΓΘ, así como este rectángulo es igual a ΘZ. 

El rectángulo entero AM es igual al gnomon que se forma en NΞO como veremos a continuación. 




Como AM es igual a NΞO, entonces AM junto con AH son iguales al cuadrado ΓΔ que es lo que se quería demostrar. 

El rectángulo comprendido por la recta entera y la recta añadida (AB y BΔ) junto con el cuadrado originado a partir de la mitad de la recta entera, el cuadrado de ΓB será igual al cuadrado de la recta entera junto con la recta añadida (ΓΔ).

Proposición 7:

Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento antedicho más el cuadrado del segmento restante

Cortar al azar un punto Γ en la recta AB. 



A partir de AB se debe construir AΔEB y construir la recta ΓN. Luego se debe trazar la recta BΔ para que junto con la recta ΓN se forme el punto H y la recta ΘZ.



En este caso, AZ es igual a ΓE y si unimos estos dos rectángulos también podríamos decir que estos dos forman un gnomon KΛM.



De esta forma, ΓZ y el gnomon KΛM son el doble que el rectángulo entero de AZ. Ahora, si queremos completar el cuadrado completo, deberemos sumar el gnomon KΛM con el cuadrado HΔ. 

Finalmente, así se conforma el cuadro AΔEB que son la suma del gnomon y del cuadrado HΔ.

Proposición 8:

Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento restante es igual al cuadrado construido a partir de la recta entera y del segmento primeramente dicho, tomados como una sola recta

Cortar al azar la recta AB en un punto Γ y luego se debe prolongar B hasta Δ en la misma línea AB.



BΔ es igual a ΓB y se construye a partir de AΔ. Luego, a partir de AΔ se debe construir el cuadrado AEZΔ.
Ahora deberemos construir la recta ΓΔ y BΛ, para luego unir Δ con E por medio de una recta.



Después, como ΔE incide en las rectas ΓΔ y BΛ, entonces deberemos formar dos rectas (MN y ΞO) entre las rectas verticales. 



Con todos estos puntos externos deberemos apuntar aquellos que se intersectan los unos con los otros de la siguiente manera. 



De esta forma ΓB y BΔ son iguales, así como también ΓB es igual a HK, ΠP y ΔΛ que son todas paralelas. De la misma forma BΔ es igual a KN, PO y ΛZ. 

Luego ΓK es igual a PN como MΠ es igual a ΠΛ, y este al rectángulo PZ. Por otro lado, ΓK, HP, PN y KΔ son el cuádruple de ΓK. 

Así, se conforma un gnomon que comprende AN y ΓZ juntos. Para indicar el gnomon más precisamente añadiremos los puntos ΣTY.



El gnomon ΣTY son el cuádruple de AK y por lo tanto cuatro veces el rectángulo AB y BΔ. 

Como conclusión, se demuestra que el cuádruple del triángulo formado a partir de la recta entera junto a otro segmento (AK) más el cuadrado del segmento restante (ΞΘ) es igual al cuadrado de la recta inicial junto al segmento añadido (AZ).

Proposición 9:

Si se corta una línea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los segmentos desiguales de la recta entera son el doble del cuadrado de la mitad más el cuadrado de la recta situada entre los puntos de sección

Cortese AB en segmentos iguales por el punto Γ, y en desiguales por el punto Δ. 



Ahora deberemos trazar por Γ una recta E y formar ΓE, para luego unir EA y EB. Por el punto Δ deberemos unir un punto Z para crear ΔZ . Luego debemos crear una línea paralela para crear ZH que intersecta con la recta ΓE. Finalmente tracese AZ.



AΓ es igual a ΓE y el ángulo EAΓ y AEΓ son iguales a un recto, así como también ΓEA y ΓAE son la mitad de un recto. 

Por otro lado, ΓEB y ΓBE son también la mitad de un recto y así el ángulo AEB entero es un ángulo recto. 

Luego como HEZ es la mitad de un recto y el ángulo EHZ es recto, entonces el ángulo HZE es también la mitad de un recto. De la misma forma, ZΔB también es un ángulo recto y BZΔ es la mitad de un recto. 

A partir de esto, podríamos decir también que el cuadrado de EA es el doble que AΓ, así como también EZ es el doble de EH. 

Finalmente, el rectángulo AΔ y BΔ son el doble de AΓ y ΓΔ. 

Como conclusión, como EA es el doble de AΓ, ya que AΓ es igual a ΓE, y lo mismo pasa con EZ. Luego, como HZ es igual a ΓΔ y EH es igual a HZ. Así, EZ es el doble de ΓΔ. 


AE junto con EZ es igual al doble de AΓ junto con el doble de ΓΔ. Por otro lado, AZ es igual a los cuadrados AE y EZ. 

Como los cuadrados AΔ y ΔZ son iguales al cuadrado de AZ, y entonces AΔ junto con ΔZ es igual al doble de AΓ y el doble de ΓΔ que es lo que se quería demostrar.

Proposición 10:

Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el cuadrado de la recta entera con la recta añadida y el cuadrado de la añadida, tomados conjuntamente son el doble del cuadrado de la mitad y el cuadrado construido a partir de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida, tomadas como una sola recta

Tengamos una recta AB trazada por un punto Γ. haciendo que AB y AΓ sean iguales, y luego debe prolongarse B hasta el punto Δ.



Similarmente a la proposición 9 ser debe hacer una recta a partir de Γ para formar ΓE, y unase AB con E. 



Y por E se debe trazar el punto Z para que se una con Δ. Ya que tenemos ZΔ, en esta misma recta debemos prolongar la misma hasta el punto H, para luego unir A y E con H. 



AΓ es igual a ΓE porque ΓE es igual a ΓB y por esto el ángulo EAΓ es igual a AEΓ, y en la intersección AΓ y ΓB se forma un ángulo recto.

ΓEB y EBΓ son la mitad de un recto (cada uno) porque EAΓ y AEΓ son iguales a la mitad de un recto también, y por lo tanto AEB comprende un ángulo recto. Y como EBΓ es la mitad de un recto, entonces ΔBH es también la mitad de un recto. 

El ángulo BΔH es un ángulo recto porque es igual al ángulo ΔΓE y por otro lado, ΔHB sería la mitad de un recto y es igual al ángulo ΔBH. 

ZEH es la mitad de un recto al igual que EHZ desde que HZ es igual a EZ. 

EΓ es igual a ΓA y la unión de estos dos son el doble a ΓA, y EA es el doble del cuadrado ΓE y ΓA. 

ZΔ es igual a EZ y la unión de estos son el doble de EZ, y EH es el doble del cuadrado EZ. 

EZ es igual a ΓΔ y EH es el doble de ΓΔ porque éste es igual a EZ Y EH es el doble de ΓΔ porque es el doble de EZ. Por otro lado, recordemos también que EA es el doble de AΓ. Por lo tanto, AE y EH son el doble de AΓ y ΓΔ. Así mismo, también AH es igual al cuadrado de AΔ y EH.

EA es el doble de AΓ, y EH es el doble de ΓΔ, entonces AH será igual al doble de AΓ y el doble de ΓΔ.

Los cuadrados de AΔ y ΔH son iguales al cuadrado de AH, y así los cuadrados de AΔ y ΔH son el doble de los cuadrados AΓ y ΓΔ. 

Finalmente, si a una recta se le agregara otra recta siguiendo la misma línea el cuadrado de la recta inicial con la añadida junto con el cuadrado de la recta agregada, será igual al doble de la mitad de la recta original junto con el doble de la mitad de la recta inicial unida a la recta añadida. 

Proposición 11:

Dividir una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante

Tengamos AB como una recta dada y a partir de esta se construya el cuadrado ABΔΓ. 


Luego dividamos AΓ por el punto E y luego unir este punto con B para formar la recta EB. Después se debe prolongar ΓA hasta Z, para que ZE sea igual que EB. 

Posteriormente, a partir de AZ fórmese el cuadrado ZHΘA, y Θ debe unirse con el punto K. 



El rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado de AE es igual al cuadrado de EZ. 

Y si EZ es igual a EB, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado AE es igual al cuadrado EB y también a los cuadrados BA, AE. 

Ahora quitemos de ambos lados el cuadrado AE. Su resultado será que ΓZ y ZA serán iguales al cuadrado de AB.

Luego, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA es ZK porque AZ es igual a ZH, pero el cuadrado de AB es AΔ, por lo tanto, ZK es igual a AΔ. 

Quitemos de ambos (ZK y AΔ) el rectángulo AK y entonces el cuadrado restante de ZK será ZΘ y de AΔ será ΘΔ.  Así como este último (ΘA) es el rectángulo comprendido por AB y BΘ; porque AB es igual a BΔ. Así, AB y BΘ es iguala la cuadrado de ΘΔ.

Como conclusión, la recta dada (AB) ha sido dividida en un punto (Θ) de manera tal que el rectángulo comprendido por AB y BΘ sea igual al cuadrado AΘ.

Proposición 12:

En los triángulos obtusángulos el cuadrado del lado que subtiende al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso

Sea ABΓ el triángulo obtusángulo que tiene el ángulo obtuso BAΓ. 


Y a partir del punto B tracese Δ para formar la recta BΔ.




Lo que se quiere demostrar aquí es que el cuadrado de BΓ es mayor dos veces mayor el rectángulo comprendido por ΓA y ΔA a los cuadrados AΓ y AB

Así, podríamos decir que BΓ es igual al doble de ΓA, ΔA, y AΓ y AB juntos.

¿Cómo se demuestra? calculando el triángulo de ΔBΓ que posee un ángulo recto en Δ.

Por otro lado, ΓΔ es igual al cuadrado de AΓ y AΔ junto con el doble del rectángulo ΓA y ΔA. 

Ahora para demostrar que BΓ es mayor que el doble de AΓ, AB, y el doble que ΓA y ΔA se propone hacer que ΔB esté en ambos lados de la ecuación propuesta por Euclides: ΔΓ = ΓA + AΔ + 2 (AΓ, AΔ)

BΓ = (ΓΔ + ΔB)
AB = AΔ + ΔB

Por lo tanto, podríamos expresar lo siguiente:

ΓΔ + ΔB = AΓ + (AΔ + ΔB) + 2 veces ΓA y AΔ

Todo esto se puede reemplazar finalmente por la siguiente expresión:

BΓ = AΓ + AB + 2 veces ΓA y AΔ.


Proposición 13:

En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado que subtiende al ángulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo agudo en dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados del ángulo agudo sobre el que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo

Sea ABΓ el triángulo acutángulo



Luego desde A se debe trazar una recta Δ.




Podemos notar que ΓB ha sido cortada al azar por Δ, esto hace que los cuadrados de ΓB y ΔB sean iguales a dos veces el rectángulo formado por ΓB y ΔB, además del cuadrado de ΔΓ.

ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ

Ahora añadamos a ambos ΓB y ΔB el cuadrado ΔA, entonces, los cuadrados ΓB, ΔB y ΔA son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB, y los cuadrados de AΔ y AΓ.

ΔA + ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ + ΔA

Por otro lado, tenemos que el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de BΔ y ΔA porque el ángulo de Δ es recto. Ahora el cuadrado de AΓ es igual a los cuadrados de AΔ y ΔΓ. 

Aquí se reemplaza de la siguiente forma:

AB = BΔ + ΔA 
AG = AΔ + ΔΓ

Por lo tanto, los cuadrados de ΓB y BA son iguales al cuadrado de AΓ, y dos veces el rectángulo por ΓB y BΔ. 


Así, el cuadrado AΓ es menor que los cuadrados ΓB y BΔ en dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB. 

Proposición 14:

Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada

Sea A la figura rectilínea dada


Euclides se propone construir un cuadrado igual a la figura mostrada anteriormente. 

Para esto, construyamos un paralelogramo rectángulo BΔ, que sea igual a la figura rectilínea dada (A) que a su vez forme un rectángulo BΓΔE. 



Euclides dice que si BE es igual a EΔ se habrá hecho lo propuesto, pues así se construye la recta de la figura A. De lo contrario, entonces uno de los lados (BE o EΔ) tendría que ser mayor.

Supongamos que BE sea mayor y prolonguemos esta hasta un punto Z, y hágase Z igual a EΔ.



Luego dividamos BZ en dos partes iguales añadiendo un punto H en medio de la recta. 



Como podemos ver, junto con el punto H se forma también el punto Θ, que a su vez forma un semicírculo encima de la recta BZ. A consecuencia de esto formamos el semicírculo BΘZ.

El rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado EH son iguales al cuadrado HZ, debido a la misma proposición 5 de este libro. 

Sin embargo HZ es igual al cuadrado de HΘ, aunque también, los cuadrados de ΘE y EH son iguales al cuadrado HΘ. 

Por lo tanto, el rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado de EH son iguales a los cuadrados ΘE y EH.

Quítese de ambos (BE, EZ y ΘE) el cuadrado de HE y así quedaría que el ángulo comprendido por BE y EZ se igual al cuadrado EΘ.

Finalmente, el rectángulo comprendido por BE y EZ es BΔ porque EZ es igual a EΔ, por lo tanto, el paralelogramo BΔ es igual al cuadrado ΘE. Y como BΔ es la figura rectilínea dada(A), se puede construir un cuadrado EΘ igual a la recta dada A.




Conclusión

Al fin hemos terminado el libro II de Euclides que trata en su mayoría sobre los cuadrados y rectángulos que se pueden formar a partir de ciertas rectas. Se han añadido nuevos conceptos a conocer en esta etapa tales como el gnomon, que no había aparecido en el libro I, y que además nos ayudará a resolver las figuras geométricas sucesivas. Por supuesto, todo lo anteriormente nos preparará para completar el tercer libro relacionado con las circunferencias.


Este apunte ha sido logrado gracias Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.